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COURS DE GÉNIE MARIN & MÉTÉO

La météorologie est l'étude des phénomènes atmosphériques tels les nuages, les dépressions et les précipitations pour comprendre comment ils se forment et évoluent. C'est une discipline qui traite principalement de la mécanique des fluides appliquée à l'air mais qui fait usage de différentes autres branches de la physique et de la chimie. Elle permet donc d'établir des prévisions météorologiques en s'appuyant sur des modèles mathématiques à court comme à long terme. Elle est également appliquée pour la prévision de la qualité de l'air, pour les changements climatiques et pour l'étude dans plusieurs domaines de l'activité humaine (construction, trafic aérien, etc.)

HORIZON VISUEL

Nous allons étudier ici un petit sujet sympathique faisant souvent débat lors des vacances ou plus sérieusement... dans certains logiciels de météorologie il est demandé de saisir la distance de l'horizon visuel lors de mesures de température et pression... or celle-ci est difficile à déterminer par très beau temps lorsque nous sommes en hauteur.

Pour cela, considérons la Terre de rayon R et un point de perspective de hauteur h par rapport au niveau de la mer que nous noterons A. La question est de savoir à qu'elle distance se trouve le point C donné par définition par la tangente AC qui est simplement la ligne d'horizon.

  (1)

Le lecteur observera déjà que l'étude va principalement faire appel à de la trigonométrie et de la géométrie élémentaire.

L'angle  est un angle droit. En effet, une droite tangente en un point d'un cercle est perpendiculaire au rayon en ce point. Le triangle OCA est donc rectangle en C.

Nous avons donc :

  (2)

Or, nous avons . D'où nous en déduisons :

  (3)

La distance AC est la distance à vol d'oiseau entre le point de vue (belvédère) et le bateau que nous observons sur l'horizon. La distance qui nous intéresse cependant ici est BC : c'est la distance que nous devrions parcourir à l'altitude 0 pour rejoindre l'autre bateau.

Dans la suite, nous poserons .

Lorsque l'angle varie de 0° à 360° (tour complet), nous décrivons toute la circonférence de la Terre, c'est-à-dire puisque la Terre est supposée être ronde.

Utilisation de la règle de trois :

Si un angle de 360° correspond à une distance de longueur alors un angle de correspond à une distance:

  (4)

Or, nous avons vu précédemment que:

  (5)

D'où, finalement :

  (6)

Avec , nous trouvons (h doit être exprimé en kilomètres) :

  (7)

Nous avons alors dans le vide, dans un paysage sans obstacles... la table suivante:

DIRECTION DES VENTS

Nous allons démontrer mathématiquement maintenant quelque chose de tout à fait intuitif : que les vents de déplacent des hautes vers les basses pressions (c'est bête comme ça mais il faut quand même le montrer).

Nous savons (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus) que la force de pression s'exerçant sur une surface S est normale à cette surface et vaut sous forme scalaire .

Pour une parcelle d'air de volume  la force de pression totale selon la direction x vaut alors :

  (8)

De plus, nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

  (9)

Donc :

  (10)

La force de pression massique est donc :

  (11)

Nous pouvons faire le même calcul selon y. Finalement la force de pression horizontale massique sera donnée par :

  (12)

Ainsi, la force de pression (massique ou non) est opposée au gradient horizontal. La transmission de l'information (de la force) se fait à la vitesse du son pour cette équation (ce qui explique la vitesse des appels d'air dans votre maison ou appartement et la force pouvant faire claquer les portes ou fenêtres).

Elle est donc :

- Dirigée des hautes vers les basses pressions, perpendiculaire aux isobares

- Inversement proportionnelles à l'écartement des isobares.

Si nous relevons les valeurs de la pression atmosphérique en différents points du globe et qu'on nous relions  entre eux les points de pression identique, nous obtenons un série de courbes, appelées "isobares". Le vent est directement déterminé par ce relief atmosphérique, puisque c'est un déplacement d'air entre des hautes vers les basses pressions.

La vitesse du vent est donc fixée par le gradient de pression : autrement dit, si la pression atmosphérique varie rapidement avec la distance, le vent soufflera fort, tandis qu'il sera faible dans un "marais" barométrique où cette pression reste quasiment inchangée sur de grandes distances. En résumé, plus les isobares sont rapprochées, plus le vent soufflera fort.

Les isobares sont traditionnellement indiquées par un pas de 5 millibar sur les cartes météo tel que le montre l'exemple ci-dessous :

  (13)

Ensuite, les météorologues ont défini empiriquement (c'est sympathique pour la culture générale) une unité de mesure des vents qui n'est qu'une correspondance entre la force du vent et la distance séparant 2 isobares (5 en 5 [mb]) :

MODÈLE ATMOSPHÉRIQUE EXPONENTIEL

Considérons que l'atmosphère est un fluide parfait dans un champ de gravité. Alors à partir de la relation du théorème de Bernoulli suivante démontrée dans le chapitre de mécanique des fluides (fluide statique) :

  (14)

Il vient alors :

  (15)

Ainsi, pour connaître la variation de pression avec l'altitude dans l'atmosphère ou la profondeur dans l'océan, nous avons prix comme hypothèse "l'équilibre hydrostatique", soit que la variation de pression avec la hauteur/profondeur est proportionnelle à la gravité et à la densité du fluide.

Ceci n'est bien évidemment pas valide dans le cas dans les mouvements rapides de convection, comme dans les orages, mais se vérifie assez bien dans les mouvements plus lents et à grande échelle: l'échelle synoptique.

Nous allons alors combiner cette dernière relation avec une équation d'état, par exemple celle du gaz parfait à la température T et de densité  dont les particules constituant ont pour masse m. Nous avons donc l'équation des gaz parfaits :

  (16)

Dans le cas isotherme (par exemple dans la stratosphère Terrestre, au-dessus de 10 km d'altitude où la température est quasi constante autour de -55 degrés Celsius), l'intégration s'effectue facilement :

  (17)

Donc, à une pression donnée, le gradient vertical de pression est inversement proportionnel à la température.

Considérons maintenant la relation suivante :

  (18)

En utilisant l'exponentielle :

  (19)

La pression décroit donc exponentiellement avec l'altitude.  étant la pression au niveau du sol.

Revenons aussi à la relation :

  (20)

Elle peut bien évidemment aussi s'écrire sous la forme :

  (21)

qui nous dit que la distance z entre les surfaces isobares est directement proportionnelle à la température.

Voyons également une autre approche courante. Repartons pour cela de la relation démontrée plus haut mais pour une masse m de 1 kilo:

  (22)

et notons cette relation sous la forme suivante :

  (23)

Rappelons que (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

  (24)

Donc :

  (25)

et supposons maintenant que la variation de température est linéaire dans l'atmosphère (ce qui est pas loin de la vérité pour les 10 à 20 premiers kilomètres de l'atmosphère) tel que :

  (26)

avec  qui est le gradient de température en [°K/m].

  (27)

Nous avons alors :

  (28)

Soit :

  (29)

Ce qui donne :

  (30)

Après simplification :

  (31)

Soit :

  (32)

Soit écrit de manière plus esthétique :

  (33)

Un bon exemple d'application courant de cette relation sont les planeurs et les velta-deltistes. Ceux-ci attendent de la météo que celle-ci leur communique l'altitude de l'isotherme du zéro degré lors de ses bulletins. Il en déduisent alors le gradient de température par mètre. Pour ces sportifs, une bonne condition est d'avoir un gradient de 1 [°C] pour 100 mètres. Il est dès lors aisé avec la relation précédente de calcul la pression a une altitude 2000 mètres et d'en déduire la gradient de pression qui leur permet d'utiliser certains ascendants pour leurs exercices de voltige.

MODÈLE ATMOSPHÈRique ADIABATIQUE

Le gradient thermique adiabatique est, dans l'atmosphère terrestre, la variation de température de l'air avec l'altitude (autrement dit le gradient de la température de l'air), qui ne dépend que de la pression atmosphérique, c'est-à-dire :

- Sans considération d'échange de chaleur avec l'environnement (autres masses d'air, relief)

- Sans considération de condensation (formation de nuages) ni de précipitation.

Ce concept a une grande importance en météorologie, ainsi qu'en navigation aérienne et maritime.

Nous avons démontré dans le chapitre de Thermodynamique la relation de Laplace:

    (34)

avec le coefficient de Laplace:

  (35)

Soit sous forme massique:

  (36)

Nous pouvons en prendre le logarithme:

  (37)

Or en prenant la différentielle logarithmique:

  (38)

Nous avons alors:

  (39)

En prenant aussi la différentielle logarithmique de loi des gaz parfaits ou n est le nombre de moles:

  (40)

Mais sous la forme massique pour une mole:

  (41)

où  est donc la masse molaire.

Nous avons:

  (42)

Soit:

  (43)

Nous obtenons alors:

  (44)

Soit:

  (45)

Utilisons la relation démontrée plus haut:

  (46)

Il vient alors:

  (47)

Nous avons donc une atmosphère à gradient thermique constant et négatif (la température diminue de manière linéaire avec l'altitude):

  (48)

La dernière forme utilisant la masse molaire étant plus pratique car elle permet de caractériser le milieu étudié. A remarquer que c'est un modèle qui semble très très bien marcher pour une altitude de 0 à 90 [km] sur la planète Vénus.

Nous avons alors,  et le coefficient adiabatique pour l'air , et sa masse molaire .

Soit:

  (49)

ce qui correspond à l'idée courante (un degré pour 100 mètres).

ÉQUATION HYPSOMÉTRIQUE

Nous avons donc pour l'équilibre hydrostatique :

  (50)

Nous pouvons intégrer cette relation si nous connaissons T en fonction de P ou z. La mesure directe de P dans la pratique est plus facile (les altimètres simples sont en fait des baromètres).

Nous pouvons alors séparer les variables :

  (51)

En intégrant entre deux niveaux a et b :

  (52)

Puisque :

  (53)

Ensuite pour continuer nous allons utiliser une astuce. Nous allons définir la température moyenne par la relation :

  (54)

Ce qui nous permet alors d'écrire :

  (55)

Soit :

  (56)

Cette relation est appelée "équation hypsométrique" (du grec "hypso" pour "hauteur").

BALLON SONDE

Un joli petit exemple intéressant d'application des mathématiques appliquées au génie météo est l'étude des fameux ballons-sonde et particulièrement la caractéristique de leur volume en fonction de l'altitude qui est souvent sujet à débat dans des groupes de discussions lorsque personne n'y formalise le problème une bonne fois pour toute. Vous aurez donc compris que c'est ce que nous allons étudier ici et surtout nous allons tenter de déterminer le diamètre théorique de ceux-ci à une altitude donnée.

L'énoncé du problème souvent débattu est le suivant:

Un ballon-sonde en PVC (Polyvinyl-Chloride) de masse m sert à emmener à haute altitude un appareillage en vue d'effectuer des mesures. L'enveloppe du ballon contient n moles de gaz parfait d'hydrogène  ayant donc une masse molaire de :

  (57)

L'atmosphère sera assimilée à un gaz parfait, de masse molaire moyenne:

  (58)

aux C.N.T.P. (Conditions Normales de Température et de Pression).

Nous voulons d'abord chercher quelle est la force ascensionnelle   ressentie par le ballon?

Ensuite, nous voulons évaluer la quantité de matière minimale  assurant le décollage de celui-ci pour une masse totale (ballon compris!) de 2.6 [Kg]. puis le volume  correspondant, à l'altitude de départ.

Rappelons deux choses pour résoudre déjà ce premier point:

1. Tout corps plongé dans un liquide (ou un gaz) subit une force vers la haut égale au poids du volume qu'il déplace (force d'Archimède) selon la relation démontrée dans le chapitre de Mécanique des milieux continus:

  (59)

2. Tout gaz parfait ayant une masse en gramme égale à la masse molaire occupe selon la loi des gaz parfaits un volume de 22.4 [L] à 273. 15 [K] et à une pression de 1 [atm] comme nous l'avons démontré dans le chapitre de Chimie Thermique. Ce qui donne aux C.N.T.P:

  (60)

Donc pour que le ballon flotte à hauteur constante (sans monter mais sans tomber aussi...) avec juste la quantité  d'hydrogène suffisante il faut donc d'après le principe d'Archimède que le volume d'air qu'il déplace ait un poids égal à la masse totale du ballon et de la sonde, soit 2 [Kg] dans notre cas!

Donc puisque 24 [L] d'air pèsent environ 29 grammes, il faut que le volume soit tel qu'il déplace 2.6 [Kg] d'air. Soit en faisant une simple règle de trois:

  (61)

Donc si le ballon est sphérique, cela donne un rayon de:

  (62)

Soit un diamètre d'environ 1.6 [m]. Ce qui est conforme à la réalité!

Il nous faut encore déterminer le nombre de moles d'hydrogène. Il vient immédiatement:

  (63)

Maintenant que nous connaissons le nombre de moles dans la ballon, si nous connaissons la température et la pression à une hauteur de 22'000 [m] (altitude type d'une petit ballon sonde) il ne nous reste qu'à appliquer la loi des gaz parfait pour connaître le volume à cette altitude donné alors par la relation démontrée dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus:

  (64)

ainsi à 22'000 [m] d'altitude nous avons environ:

  (65)

Mais au fait le rayonnement solaire est environ 30% plus élevé à cette altitude et le ballon est considéré comme un système adiabatique (sans échange de chaleur) et ne restitue donc pas la puissance emmagasinée à l'environnement extérieur. Nous considérons alors que la température est au 30% moins élevée ce qui nous donne comme chiffres:

  (66)

Nous avons donc:

  (67)

Nous aurions pu également utiliser (hypothèse adiabatique oblige!) la relation de Boyle-Mariotte (cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus) pour arriver au même résultat:

  (68)

Ce qui donne un rayon d'environ 2.12 [m] (diamètre d'environ 4.2 [m]) au lieu des 73 [cm] au sol! Soit une augmentation du diamètre de 290%. Il est plus important cependant de s'intéresser à l'augmentation de la surface pour déterminer les forces de contraintes élastiques sur le PVC. Nous avons donc avant:

  (69)

et après:

  (70)

Soit une augmentation de la surface de 800% alors qu'un élastomère type (dont le PVC fait partie) ne résiste pas à une variation relative de 500%!!! Il est donc beaucoup plus aisé de comprendre sous le point de vue de la surface pourquoi le ballon ne résiste pas à une augmentation du diamètre de 290%.

Par ailleurs si nous appliquons de manière un peu abusive la loi de Hook au ballon (cf. chapite de Mécanique des Milieux Continus), avec le module de Young du PVC qui est compris entre  (source Wikipedia.com):

  (71)

nous avons:

  (72)

Ce qui est conforme aux données des tables numériques qui donnent une valeur limite inférieure élastique de 50 [MPa] et une limite supérieure de 80 [MPa] pour le PVC (source Wikipedia.com). Il nous est alors possible de calculer la hauteur minimale et maximale théorique que le ballon peut atteindre.

Ainsi pour la hauteur minimale nous écrivons d'abord:

  (73)

Ce qui correspond alors à un rayon final de:

  (74)

Ce qui correspond à un volume de:

  (75)

En appliquant Boyle-Mariotte:

  (76)

qui est une pression correspondante à une hauteur d'environ 18'000 [m] selon les mesures expérimentales (www.engineeringtoolbox.com) et c'est effectivement une hauteur à laquelle certains rares ballons en PVC éclatent.

Maintenant faisons de même avec la hauteur maximale:

  (77)

Ce qui correspond alors à un rayon final de:

  (78)

Ce qui correspond à un volume de:

  (79)

En appliquant Boyle-Mariotte:

  (80)

qui est une pression correspondant à une hauteur d'environ 24'000 [m] selon les mesures expérimentales et c'est effectivement une hauteur à laquelle les ballons en PVC les plus hauts éclatent.

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