PLANS D'EXPÉRIENCE



GÉNIE INDUSTRIEL

1. Six Sigma

1.1. Contrôle qualité

1.2. Défauts/Erreurs

1.3. Indices de capabilité

1.4. Niveaux de qualité

1.5. Modèle de Taguchi

2. Maintenance préventive

2.1. Estimateurs empiriques

2.2. Modèle de Weibull

2.3. Topologie des systèmes

2.4. Méthode ABC

3. Plans d'expériences

3.1. Plans factoriels complets

3.2. Plans factoriels fractionnaires

Le comportement des produits industriels est généralement fonction de nombreux phénomènes, souvent dépendants les uns des autres. Pour prévoir ce comportement, le produit et les phénomènes sont modélisés, et des simulations sont effectuées. La pertinence des résultats des simulations dépend évidemment de la qualité des modèles.

En particulier, dans le cadre de la conception ou reconception d'un produit, les modèles font généralement intervenir un certain nombre de grandeurs physiques (paramètres) que l'on s'autorise à modifier. Le comportement des produits industriels est généralement fonction de nombreux phénomènes, souvent dépendants les uns des autres. Pour prévoir ce comportement, le produit et les phénomènes sont modélisés, et des simulations sont effectuées.

Or, ces essais sont coûteux, et ce d'autant plus que le nombre de paramètres à faire varier est important. En effet, la modification d'un paramètre peut par exemple exiger un démontage et un remontage du produit, ou bien la fabrication de plusieurs prototypes différents (cas d'une pièce produite en série), ou encore l'interruption de la production pour changer d'outil (cas d'un process de fabrication)... Le coût d'une étude expérimentale dépend donc du nombre et de l'ordre des essais effectués.

L'idée consiste alors à sélectionner et ordonner les essais afin d'identifier, à moindres coûts, les effets des paramètres sur la réponse du produit. Il s'agit de méthodes statistiques faisant appel à des notions mathématiques simples le plus souvent. La mise en oeuvre de ces méthodes comporte trois étapes :

1. Postuler un modèle de comportement du système (avec des coefficients pouvant être inconnus)

2. Définir un protocole d'expérience, c'est-à-dire une série d'essais permettant d'identifier les coefficients du modèle

3. Faire les essais, identifier les coefficients et conclure.

Les plans d'expériences ("Design of Experiment" (D.O.E.) en anglais abrégés PEX en français) permettent d'organiser au mieux les essais qui accompagnent une recherche scientifique ou des études industrielles. Ils sont applicables à de nombreuses disciplines et à toutes les industries à partir du moment où l'on recherche le lien qui existe entre une grandeur d'intérêt, y (quantité de rebus, défauts, détections, amplitude, etc.), et des variables equation dans un but d'optimisation. Raison pour laquelle il existe des logiciels pour les traiter comme MiniTab ou principalement JMP pour ne citer que les plus connus.

Indiquons également que les plans d'expérience sont un des pilier de la chimiométrie (outils mathématiques, en particulier statistiques, pour obtenir le maximum d'informations à partir des données chimiques).

Il existe trois grandes familles de plans d'expériences:

1. Les "plans de criblages": dont l'objectif est de découvrir les facteurs les plus influents sur une réponse donnée en un minimum d'expériences. C'est la plus simples des familles car proche de l'intuition expérimentale (elle est parfois considérée comme une sous-famille de la deuxième famille).

2. Les "plans de modélisation": dont l'objectif est de trouver la relation mathématique qui lie les réponses mesurées aux variables associés aux facteurs soit via une démarche mathématique analytique ou purement matricielle. Les plans factoriels complets et fractionnaires (2 niveaux par facteurs avec modèles linéaires) ainsi que les plans pour surfaces de réponse (au moins 3 niveaux par facteurs avec modèles du second degré) font partie de cette famille.

3. Les "plans de mélange": dont l'objectif est le même que la deuxième famille mais où les facteurs ne sont pas indépendants et sont contraints (par exemple leur somme/ ou leur rapport doit être égale à une certaine constante).

Le principe global se base sur le fait que l'étude d'un phénomène peut, le plus souvent, être schématisé de la manière suivante : nous nous intéressons à une grandeur, y  qui dépend d'un grand nombre de variables, equation (et leur ordre n'a pas d'influence... ce qui est par contre problématique en chimie...).

La modélisation mathématique consiste à trouver une fonction f telle que:

equation   (239)

qui prenne en compte l'influence de chaque facteur seul ou des facteurs combinés (interactions). Cette fonction est donc déterministe (la réponse dépend uniquement des facteurs sans aucune incertitude possible, ce qui revient à ignorer les bruits tels que les erreurs de mesure) et invariant (le comportement n'évolue pas au cours du temps).

Une méthode classique d'étude consiste en la mesure de la réponse y pour plusieurs valeurs de la variable equation tout en laissant fixe la valeur des (n-1) autres variables. Nous itérons alors cette méthode pour chacune des variables.

Ainsi, par exemple, si nous avons 8 variables et si l'on décide de donner 2 valeurs expérimentales à chacune d'elles, nous sommes conduits à effectuer equation expériences.

Ce nombre élevé dépasse les limites de faisabilité tant en temps qu'en coût. Il faut donc réduire le nombre d'expériences à effectuer sans pour autant perdre sur la qualité des résultats recherchés.

L'utilisation d'un plan d'expérience donne alors une stratégie dans le choix des méthodes d'expérimentation. Le succès des plans d'expériences dans la recherche et l'industrie est lié au besoin de compétitivité des entreprises : ils permettent une amélioration de la qualité et une réduction des coûts.

Remarque: La méthode des plans d'expériences a été mise au point au début du siècle, dans les années 1920, par Ronald A. Fisher (celui du Test de Fisher). Elle a pris un essor considérable avec le développement de l'informatique et la puissance de calcul qui l'accompagne.

Le traitement des résultats se fait enfin à l'aide de la régression linéaire simple ou multiple et l'analyse de variance.

Avec les plans d'expériences, le but est donc d'obtenir le maximum de renseignements (mais pas tous!) avec le minimum d'expériences (et donc le minimum de coût) dans le but de modéliser ou d'optimiser des phénomènes étudiés.

Un expérimentateur qui lance une étude s'intéresse à une grandeur qu'il mesure à chaque essai. Cette grandeur s'appelle la "réponse", c'est la grandeur d'intérêt. La valeur de cette grandeur dépend de plusieurs variables. Au lieu du terme "variable" on utilisera le mot "facteur". La valeur donnée à un facteur pour réaliser un essai est appelée "niveau". Lorsqu'on étudie l'influence d'un facteur, en général, on limite ses variations entre deux bornes (oui faut bien s'avoir s'arrêter un jour et être raisonnable...) appelées respectivement: "niveau bas" et "niveau haut".

Bien évidemment, lorsque nous avons  plusieurs facteurs equation ceux-ci représentent un point dans equation appelé alors "espace expérimental".

L'ensemble de toutes les valeurs que peut prendre le facteur entre le niveau bas et le niveau haut, s'appelle le "domaine de variation du facteur" ou plus simplement le "domaine du facteur". Nous avons l'habitude de noter le niveau bas par -1 et le niveau haut par +1 pour des raisons d'approximation de mathématiques car l'approche utilise un développement en série de MacLaurin autour de zéro! Ce n'est donc pas une recommandation de procéder ainsi mais une obligation car les logiciels implémentent les séries de MacLaurin!

Donc par exemple pour un facteur ayant un domaine de variation compris entre un niveau haut de 20 [°C] correspond à +1 et un niveau bas de 5 [°C] correspondant à -1 nous devrons à la fin de notre étude transformer toutes les valeurs expérimentales en "unités centrées réduites" dans lesquelles doivent être utilisées les equation.

Ainsi, nous avons deux points d'entrée (20,5) et deux de sorties (+1,-1). Toute valeur intermédiaire est donnée simplement par l'équation de la droite:

 

equation
  (240)

La pente est donc triviale à obtenir...., pour déterminer b, nous avons simplement une équation à une inconnue:

equation   (241)

ou (ce qui revient au même):

equation   (242)

Donc le passage de variables non normalisées, notées x, aux normalisé, notées X, s'écrit alors:

equation   (243)

soit dans un cas de sorties (+1,-1):

equation   (244)

et inversement...:

equation   (245)

soit dans un cas de sorties (+1,-1):

equation   (246)

Le regroupement des domaines de tous les facteurs définit le "domaine d'étude". Ce domaine d'étude est la zone de l'espace expérimental choisie par l'expérimentateur pour faire ses essais. Une étude, c'est-à-dire plusieurs expériences bien définies, est représentée par des points répartis dans le domaine d'étude.

Par exemple, pour deux facteurs, le domaine d'étude est une surface et l'espace expérimental est equation:

equation
  (247)

Les niveaux equation représentent les coordonnées d'un point expérimental et y est la valeur de la réponse en ce point. On définit un axe orthogonal à l'espace expérimental et on l'attribue à la réponse. La représentation géométrique du plan d'expériences et de la réponse nécessite un espace ayant une dimension de plus que l'espace expérimental. Un plan à deux facteurs utilise un espace à trois dimensions pour être représenté : une dimension pour la réponse, deux dimensions pour les facteurs.

A chaque point du domaine d'étude correspond une réponse. A l'ensemble de tous les points du domaine d'étude correspond un ensemble de réponses qui se localisent sur une surface appelée la "surface de réponse" (raison pour laquelle ce domaien d'études est parfois appelé: "plans d'expérience pour l'estimation de surfaces de réponse") par exemple avec des facteurs:

equation
  (248)

Le nombre et de l'emplacement des points d'expériences est le problème fondamental des plans d'expériences. On cherche à obtenir la meilleure précision possible sur la surface de réponse tout en limitant le nombre d'expériences!

L'ingénieur va souvent rechercher une fonction mathématique qui relie la réponse aux facteurs.

Pour cela, nous simplifions le problème en se rappelant (cf. chapitre de Suites et Séries) que toute fonction quelque soit sont nombre de variables peut être approchée en une somme de série de puissance en un point donné

Nous prenons alors un développement limité de la série de Taylor:

equation   (249)

Soit autour deequation (ce que nous pouvons nous permettre car nous prenons toujours des unités centrées réduites comme vues plus haut!), nous avons la série de MacLaurin au deuxième ordre et en changeant de notation pour equation:

equation
  (250)

y est donc la réponse et les equation les facteurs et les equation sont les coefficients du modèle mathématique adopté a priori. Ils ne sont pas connus et doivent être calculés à partir des résultats des expériences.

L'intérêt de modéliser la réponse par un polynôme est de pouvoir calculer ensuite toutes les réponses du domaine d'étude sans être obligé de faire les expériences en passant par un modèle appelé "modèle postulé" ou "modèle a priori".

Deux compléments doivent être apportés au modèle précédemment décrit:

1. Le premier complément est le "manque d'ajustement". Cette expression traduit le fait que le modèle a priori est fort probablement différent (ne serait-ce que par l'approximation de l'approche) du modèle réel qui régit le phénomène étudié. Il y a un écart entre ces deux modèles. Cet écart est le manque d'ajustement ("lack of fit" en anglais).

2. Le second complément est la prise en compte de la nature aléatoire de la réponse (sans que cette dernière soit toutefois stochastique sinon il faut utiliser d'autres outils!). En effet, si l'on mesure plusieurs fois une réponse en un même point expérimental, on n'obtient pas exactement le même résultat. Les résultats sont dispersés. Les dispersions ainsi constatées sont appelées "erreurs expérimentales".

Ces deux écarts, manque d'ajustement et erreur expérimentale, sont souvent réunis dans un seul écart, notée e.

Le modèle utilisé par l'expérimentateur s'écrit alors au deuxième ordre et au premier degré (toujours dans le cas particulier de deux facteurs!):

equation   (251)

Remarques:

R1. Si nous prenons en compte les termes du deuxième degré, nous parlons alors de "modèle quadratique complet".

R2. Si nous arrêtons le développement au premier ordre et au premier degré (sans interactions), nous parlons alors de "modèle affine".

Dans la pratique nous notons cette dernière relation (nous enlevons le terme d'erreur):

equation   (252)

où nous avons la notation abusive:

equation   (253)

Ce modèle sans erreur est souvent appelé "modèle contrôlé avec interactions" (linéaire d'ordre 2).

Évidemment, plus le degré du polynôme utilisé est élevé plus nous avons, théoriquement, de chances d'avoir un modèle proche de la réalité. Mais les polynômes de degré élevé réclament beaucoup de points expérimentaux et leur validité peut vite diverger en dehors du domaine expérimental. Si l'étude l'exige, nous préférons utiliser des fonctions mathématiques particulières pour mieux ajuster le modèle aux résultats expérimentaux.

Cependant, en pratique, les interactions d'ordre élevé ont souvent une influence très faible sur la réponse (bon cette affirmation dépend fortement du domaine d'activité...!). Il est donc possible de ne pas les inclure dans le modèle, ce qui conduit à faire moins d'essais. Ce principe est utilisé dans la construction de nombreux plans d'expériences, comme nous le verrons dans la partie suivante. Dans de nombreuses applications, on obtient des résultats tout à fait satisfaisants en se limitant aux interactions doubles.

Pourquoi nous satisfaisons-nous de cette relation approchée de quatre termes? Pour la simple raison que:

1. La réponse peut être non nulle lorsque tous les facteurs sont nuls (c'est le premier coefficient equation)

2. La réponse dépend trivialement (intuitivement) de la somme des effets du premier et deuxième facteurs equationde manière indépendante (coefficients equation).

3. La réponse dépend aussi des interactions entre les deux facteurs equation (coefficients equation).

Chaque point expérimental dont les equation sont données  permet alors d'obtenir une valeur de la réponse y. Cette réponse est modélisée par un polynôme dont les coefficients sont les inconnues qu'il faut déterminer.

PLANS FACTORIELS COMPLETS

Donc dans un plan d'expérience de 2 facteurs à 2 niveaux, nous avons besoin d'au moins (et au plus pour des raisons de coûts!) de 4 mesures pour avoir un système de quatre équations à quatre inconnues qui sont les coefficients equation.

Remarque: Pour une étude de 2 facteurs à 3 niveaux, nous ne pouvons plus prendre le modèle linéaire. Il nous faut alors prendre les termes quadratiques du développement de Taylor.

Dans la pratique, puisque pour chacun des facteurs nous devons nous fixer un niveau bas et un niveau haut pour pouvoir travailler raisonnablement.... alors si nous avons deux facteurs, nous avons un espace expérimental défini par 4 points {(haut, haut), (bas, bas), (haut, bas), (bas,haut)}, correspondant aux 2 fois 2 niveaux (equation), nous suffit pour permettre d'obtenir alors nos quatre équations à 4 inconnues et alors de déterminer les 4 coefficients.

Ainsi, les points à prendre pour notre expérience correspondent naturellement aux sommets (géométriquement parlant) de l'espace expérimental.

Nous avons alors le système d'équations:

equation   (254)

ou explicitement écrit:

equation   (255)

Il vient alors immédiatement ce que les ingénieurs dans le domaine, appellent les "effets moyens", des différents facteurs:

equation   (256)

equation a un statut particulier car il représente la réponse théorique moyenne (au centre du domaine d'étude).

Effectivement, si nous posons dans une ligne quelconque:

equation   (257)

soit au centre du domaine [+1,-1] de chaque variable alors nous obtenons tout naturellement:

equation   (258)

qui est donc la réponse de l'expérience au centre du domaine d'étude.

Soit sous forme matricielle:

equation   (259)

Ce qui s'écrit de manière générale pour des modèles linéaires du deuxième ordre sous la forme générale (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire):

equation   (260)

La matrice X contenant equation lignes est appelé "plan factoriel complet (PFC) 2n avec interactions" (le terme "factoriel" venant du fait que tous les facteurs varient simultanément).

La matrice X dans la pratique est appelée "matrice d'expérimentation" ou encore "matrice des effets" et est souvent représentée de la manière suivante dans le cas particulier précédent:

Essai n°

Repos

Facteur 1

Facteur 2

Facteur 12

Réponse

1

+1

-1

-1

+1

equation

2

+1

+1

-1

-1

equation

3

+1

-1

+1

-1

equation

4

+1

+1

+1

+1

equation

Tableau: 13  - Matrice d'expérimentation

Mais l'on voit tout de suite que dans la pratique la deuxième colonne (Repos) est inutile car elle vaut toujours +1 et elle est implémentée de manière cachée dans les logiciels.

Il en est de même pour la cinquième colonne (Facteur 12) car elle se déduit automatiquement de la troisième et quatrième colonne (c'est la multiplication des termes ligne par ligne... ce que certains appellent la "multiplication de Box").

Remarque: Observez donc que la première colonne vaut toujours +1 et il y a toujours aussi une ligne avec uniquement des +1!

Ainsi, dans la pratique (logiciels) et dans de nombreux ouvrages on représente à juste titre uniquement le tableau suivant (ce qui masque le fait que nous avons affaire à une matrice carrée):

Essai n°

Facteur 1

Facteur 2

Réponse

1

-1

-1

equation

2

+1

-1

equation

3

-1

+1

equation

4

+1

+1

equation

Tableau: 14  - Matrice d'expérimentation simplifiée

pour un plan d'expérience de 2 facteurs à 2 niveaux avec interactions en modèle linéaire (sans erreur) ou encore plus extrême ("notation de Yates")... en termes d'écriture:

Essai n°

Facteur 1

Facteur 2

Réponse

1

-

-

equation

2

+

-

equation

3

-

+

equation

4

+

+

equation

Tableau: 15  - Matrice d'expérimentation avec notation de Yates

On voit que dans cette forme d'écriture qu'outre le fait que les deux colonnes Facteur 1 et Facteur 2 sont orthogonales, elles sont aussi "balancées", dans le sens qu'il y a autant de + et de - dans chacune des colonnes.

Lorsque le nombre de facteurs est grand, il n'est pas toujours facile pour tout le monde de poser rapidement les facteurs +, -. Alors il existe une petite marche à suivre appelée "algorithme de Yates" qui permet vite d'arriver au résultat voulu:

D'abord nous commençons toutes les colonnes par -1 et nous alternons les -1 et les +1 toutes les equation lignes pour la j-ème colonne.

Remarques:

R1. Si le type de tableau précédent contient des valeurs codées, nous parlons de "plan d'expérience" sinon avec les unités physiques habituelles nous parlons de "tableau d'expérimentation".

R2. Dans le cas des tableaux codés, il est d'usage d'indiquer sous le tableau un deuxième tableau avec les correspondances entre les unités codées et les unités physiques.

Insistons sur une chose importante: C'est que si nous avions 3 facteurs à 2 niveaux, alors nous avons equation possibilités d'expériences (soit 8). Or, huit correspond exactement au nombre de coefficients que nous avons également dans le modèle linéaire avec interactions d'une réponse à trois variables:

equation   (261)

ce qui correspond aussi aux termes seulement linéaires et sous forme condensée du développement en série de MacLaurin d'une fonction f de trois variables.

Et ainsi de suite.... pour n facteurs à deux niveaux. C'est la raison pour laquelle les plans factoriels complets linéaires equation sont traditionnellement les plus utilisés car ils sont mathématiquement intuitifs et simples à démontrer.

Par ailleurs, il est important de remarquer que tous ces plans linéaires complets approximés au deuxième ordre sont sous forme matricielles des matrices carrées equation orthogonales et donc bien évidemment inversibles (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire)!

Cependant les matrices précédentes ne satisfont pas la relation suivante vue dans le chapitre d'Algèbre Linéaire:

equation   (262)

mais ont pour particularité pour tout plan d'expérience complet de satisfaire la relation:

equation   (263)

Donc contrairement aux matrices orthogonales qui par définition ont toutes les colonnes (ou lignes) qui forment une base orthonormée (norme unitaire), les matrices des plans d'expérience ont pour différence de ne pas avoir les normes de la base orthogonale à l'unité.

Ainsi, nous définissons la matrices A dont les coefficients sont tous des +1 ou des -1 ET satisfaisant la relation précédente comme étant une "matrice de Hadamard". Ces dernières ont par ailleurs pour propriété d'exister que pour les ordres 1, 2, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...

Démonstration:

Sachant que les cas d'ordre 1 et 2 sont triviaux et que le cas impair est à éliminer immédiatement (impossibilité d'orthogonalité), faisons la démonstration pour equation. Puisque toutes les colonnes doivent être obligatoirement orthogonales (pour que la matrice soit inversible et donc le système résoluble), nous pouvons toujours écrire le problème sous la forme (forme particulière pour n valant 4 mais facilement généralisable):

equation   (264)

et si nous notons m comme étant l'ordre de la matrice. Alors nous avons par sommation de toutes les lignes:

equation   (265)

donc n doit être divisible par 4 pour equation pour que toutes les colonnes soient orthogonales et donc que la matrice soit de Hadamard sachant que x, y, z, w ont pour valeur 1.

Remarque: Nous pouvons donc avoir des matrices par exemple d'ordre 4, avec des coefficients +1 ou -1 mais qui ne sont pas des matrices de Hadamard (car les colonnes ne seraient pas orthogonales).

equation C.Q.F.D.

Il s'ensuit alors trivialement la relation suivante:

equation   (266)

Pour clore cette partie, résumons un constat simple:

Plan

Facteurs

Interactions

Somme

equation

2

1

3

equation

3

4

7

equation

4

11

15

equation

5

26

31

equation

6

57

63

equation

7

120

127

...

...

...

...

Tableau: 16  - Types de plans avec facteurs & interactions

PLANS FACTORIELS FRACTIONNAIRES

En pratique, les plans complets ne sont utilisables que sur des systèmes avec très peu de facteurs, ou lorsque chaque essai prend très peu de temps. Lorsque n est plus grand ou égal 3 alors les coûts des expériences peut très vite devenir onéreux.

Dans le cas de 3 facteurs à 2 niveaux nous avons l'équation et le tableau d'expérience suivant:

equation

Essai n°

Facteur 1

Facteur 2

Facteur 3

Réponse

1

-

-

-

equation

2

+

-

-

equation

3

-

+

-

equation

4

+

+

-

equation

5

-

-

+

equation

6

+

-

+

equation

7

-

+

+

equation

8

+

+

+

equation

Tableau: 17  - Plan d'expérience à 3 facteurs complet sous forme de Yates

Soit sous forme de tableau d'expérience complet:

Essai n°

Repos

F 1

F 2

F 3

F 12

F 13

F 23

F 123

Réponse

1

+

-

-

-

+

+

+

-

equation

2

+

+

-

-

-

-

+

+

equation

3

+

-

+

-

-

+

-

+

equation

4

+

+

+

-

+

-

-

-

equation

5

+

-

-

+

+

-

-

+

equation

6

+

+

-

+

-

+

-

-

equation

7

+

-

+

+

-

-

+

-

equation

8

+

+

+

+

+

+

+

+

equation

Tableau: 18  - Plan d'expérience à 3 facteurs et interactions complet sous forme de Yates

ou de matrice d'expérience complète:

equation   (267)

où à nouveau il est facile de contrôler que toutes les colonnes sont orthogonales et balancées (même nombre de + ou de - dans chaque colonne ou autrement dit la somme de leurs colonnes est nulle) et que la matrice est bien de type Hadamard.

Les plans réduits (plans factoriels fractionnaires), consistant à sélectionner certaines combinaisons, ont donc été proposés. Ils permettent naturellement de réduire les coûts mais diminuent également l'information disponible sur le comportement du système! Il faut donc s'assurer de la pertinence de la sélection par rapport au modèle à identifier.

Pour réduire les coûts d'expérimentation nous allons jouer avec les maths. D'abord reprenons le problème actuel sous forme explicite:

equation   (268)

Pouvons-nous en réduire l'écriture afin de minimiser le nombre d'expériences à faire? La réponse est Oui mais en contre partie nous allons perdre la mesure des effets purs (nous parlons alors parfois de "confusion").

L'écriture inférieure la plus proche est une matrice de Hadamard d'ordre 4. Ce qui signifie bien évidemment que nous ne devons conserver 4 lignes sur les 8 et que celles-ci doivent rester orthogonales, balancées et satisfaire la relation:

equation   (269)

L'idée, appelée "méthode de Box et Hunter", est alors dans un premier temps de rassembler les facteurs d'influence (en indices) tel que (développements similaires pour tout n):

equation   (270)

Ecrivons cela de la manière suivante:

equation   (271)

Changeons de notation:

equation   (272)

Tout naturellement, si nous considérons cette nouvelle notation comme des variables propres, ce système unique se sépare maintenant en deux sous-systèmes (appelés respectivement "contrastes" dans le domaine) pour être résoluble:

equation    et    equation   (273)

e qui permet de diviser le nombre d'essais par deux par rapport à un plan complet. En résolvant un de ces deux systèmes, nous disons que les interactions sont "aliasées" avec les effets purs en négatif ou en positif.

Il est ensuite de tradition de garder que le système aliasé positivement:

equation   (274)

car si les interactions sont nulles, nous retrouvons à l'identique la matrice d'expérience d'un plan factoriel complet equation! Cependant, nous obtenons au mieux que des relations entre les coefficients et l'identification rigoureuse de leur valeur individuelle sera impossible. Ainsi, il n'est pas possible de réduire indéfiniment le coût d'une étude expérimentale sans en dégrader la robustesse.

Remarque: Il est même intéressant d'observer que le troisième facteur est confondu (peut être assimilé) avec l'interaction 12 des facteurs 1 et 2 dans le plan factoriel equation.

Ensuite, c'est à l'expérimentateur de bien connaître son analyse et de savoir si:

1. Parmi les facteurs aliasés s'il y a des interactions ou non!

2. Dans le facteur aliasé l'influence forte sur la réponse vient de l'interaction ou de l'effet pur seul!

Une fois les coefficients déterminés, sous l'hypothèse que chacun des facteurs ou interactions est indépendant (hypothèse limite acceptable...) certains ingénieurs font une analyse de la variance de la droite de régression obtenue au final ou déterminent le coefficient de corrélation afin de déterminer si l'approximation linéaire du modèle est acceptable dans le domaine d'étude et d'application.

Enfin signalons qu'il semblerait que les ingénieurs désignent (à vérifier car je ne suis pas un spécialiste):

- les plans factoriels où aucune interaction est prise en compte dans le modèle à priori linéaire sous le nom de "plans Plackett et Burmann" (mais ces plans peuvent cacher des alias si l'expérience est mal connue).

- les plans factoriels avec interactions dans le modèle à priori linéaire construits à l'aide de graphes linéaires (cf. chapite de Théorie des Graphes) sous le nom de "plans de Taguchi" (au fait il s'agit simplement de plans factoriels complets ou fractionnaires construits avec l'aide de graphes).

- les plans foctoriels partiels dont le nombre d'essai est toujours divisé par deux avec interactions aliasés sous le nom de "plans de Box et Hunter".

- les plans factoriels avec interactions dans le modèle à priori non linéaire de degré n sous le nom de "plans de Koshal".

Un aspect mérite encore d'être précisé: c'est la vérification de la validité du modèle mathématique du premier degré. Or aucun de ces plans ne prévoit un tel test de validité utilisant des statistiques élaborées. C'est pourquoi il est préconisé de toujours ajouter au moins un point expérimental au contre du domaine expérimental. La valeur de la réponse en ce point sera comparée à la valeur déduite des autres points expérimentaux grâce au modèle mathématique. Si les deux valeurs sont semblables, le modèle mathématique sera adopté, si elles ne le sont pas nous devrons rejeter ce modèle et compléter les résultats déjà obtenus par des expériences permettant de passer au second degré.